Question

在等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d≠0，a₂²=a₁•a₄，设数列的前n项和为S_n．
（1）解不等式：，求正整数m，n的值；
（2）若数列{b_n}满足b₁=4，b_n+1=b_n²-a_n•b_n+1，求证：．

Answer

（1）由已知，可求出an=n，从而不等式化为，整理为，得出m=2，n=1
（2）先用数学归纳法证明bn＞n+2，由此bk+1=bk2-k•bk+1=bk（bk-k）+1＞2bk+1，两边同时加上1，并整理得1+bk+1＞2（1+bk ），得出1+bn＞2（1+bn-1）＞22（1-bn-2）＞…＞2n-1（1+b1）=5•2n-1，得出＜×（）n-1，对不等式的右边各项放缩，再结合等比数列求和公式，计算化简，可以证明．
【解析】
（1）由题意，∵a22=a1•a4，
∴（1+d）2=1+3d，∴d=1
∴an=n，
∴
∵
∴
∴
∴m=2，n=1；
（2）先用数学归纳法证明bn＞n+2
当n=1时，b1=4＞1+2，不等式成立．
假设n=k（k∈N，k≥1）时，不等式成立，即bk＞k+2．则当n=k+1时，bk+1=bk2-k•bk+1=bk（bk-k）+1＞（k+2）×2+1=2k+5＞（k+1）+2，即当n=k+1时，不等式也成立．
所以对于任意正整数n均有bn＞n+2
 由此bk+1=bk2-k•bk+1=bk（bk-k）+1＞2bk+1，两边同时加上1，并整理得1+bk+1＞2（1+bk ），∴1+bn＞2（1+bn-1）＞22（1-bn-2）＞…＞2n-1（1+b1）=5•2n-1，＜×（）n-1，
∴（1+++）=×=[1-]＜．