Question

已知函数y=|x|+1，，（x＞0）的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三个根，其中0＜t＜1．
（Ⅰ）求证：a²=2b+3；
（Ⅱ）设（x₁，M），（x₂，N）是函数f（x）=x³+ax²+bx+c的两个极值点．
①若，求函数f（x）的解析式；
②求|M-N|的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先利用函数的单调性求出前三个函数的最小值，代入x3+ax2+bx+c=0可得a2=2b+3．
（Ⅱ）x1，x2是方程f'（x）=3x2+2ax+b=0的根⇒有，△=（2a）2-12b＞0，得b＜3 
  ①利用两根之差的绝对值和两根之和，两根之积的关系，可以求得a，b，c，即得．
  ②|M-N|的取值即为两函数值之间的关系，利用根与系数的关系进行转化，在利用所求b＜3或a＜-1代入即可．
【解析】
（Ⅰ）三个函数的最小值依次为1，，，（3分）
由f（1）=0，得c=-a-b-1
∴f（x）=x3+ax2+bx+c=x3+ax2+bx-（a+b+1）=（x-1）[x2+（a+1）x+（a+b+1）]，
故方程x2+（a+1）x+（a+b+1）=0的两根是，．
故，．（4分）
，即2+2（a+b+1）=（a+1）2
∴a2=2b+3．（5分）
（Ⅱ）①依题意x1，x2是方程f'（x）=3x2+2ax+b=0的根，
故有，，
且△=（2a）2-12b＞0，得b＜3．
由（7分）
=；得，b=2，a2=2b+3=7．
由（Ⅰ）知，故a＜-1，
∴，
∴．（9分）
②|M-N|=|f（x1）-f（x2）|
=|（x13-x23）+a（x12-x22）+b（x1-x2）|
=|x1-x2|•|（x1+x2）2-x1x2+a（x1+x2）+b|
=
=（或）．（11分）
由（Ⅰ）
∵0＜t＜1，∴2＜（a+1）2＜4，
又a＜-1，
∴，
，（或）（13分）
∴．（15分）