Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-x（x∈R，a，b是常数），且当x=1和x=2时，函数f（x）取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer

（I）实数集上的可导函数，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）=0的根建立起相关等式，运用待定系数法确定a、b的值；
（II）曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，转化成在[-2，0]上有两个不同的实数解，设φ（x）=，然后利用导数研究函数的单调性和极值，然后依题意有解之即可求出m的范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx-1，…（2分）
依题意f'（1）=f'（2）=0，即解得…（4分）
∴…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线y=f（x）与g（x）=-3x-m（-2≤x≤0）有两个不同的交点，
即在[-2，0]上有两个不同的实数解   …（6分）
设φ（x）=，则φ′（x）=，…（8分）
由φ'（x）=0的x=4或x=-1
当x∈（-2，-1）时φ'（x）＞0，于是φ（x）在[-2，-1]上递增；
当x∈（-1，0）时φ'（x）＜0，于是φ（x）在[-1，0]上递减．…（10分）
依题意有⇔⇔
∴实数m的取值范围是．…（13分）