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△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,三边长a、b、c成等比数列. (...

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,三边长a、b、c成等比数列.
(I)若manfen5.com 满分网,求证△ABC为正三角形;  
(II)若manfen5.com 满分网,求manfen5.com 满分网的值.
(I)由a,b及c成等比数列,利用等比数列的性质得到关于a,b及c的关系式,然后再利用余弦定理表示出cosB,把得到的关系式及cosB的值代入,化简整理后得到a=c,即三角形ABC为等腰三角形,再加上B为,即可得到三角形ABC为等边三角形; (II)由B的度数,利用三角形的内角和定理得到A+C的度数,用B表示出A,再利用正弦定理化简第一问得到的关系式b2=ac,把B的度数及表示出的A代入,利用特殊角的三角形函数值及两角和与差的正弦函数公式化简,接着再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,最后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,即可得到sin(2A+)的值. 【解析】 (I)由a、b、c成等比数列可得b2=ac,(2分) 若,由余弦定理, 可得,(3分) 即(a-c)2=0,所以a=c,又, 故△ABC为正三角形;(5分) (II)由b2=ac及正弦定理可得:sin2B=sinAsinC,(7分) 当时,可得, 即=,(9分) 即,(11分) 所以, 故=.(13分)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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