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已知以T=4为周期的函数f(x)=,其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5个实数...

已知以T=4为周期的函数f(x)=manfen5.com 满分网,其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为   
根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈(-1,1],[3,5],[7,9]上时,f(x)的图象为半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有5个实数解,则需直线y=与第二个椭圆相交,而与第三个椭圆不公共点.把直线分别代入椭圆方程,根据△可求得m的范围. 【解析】 ∵当x∈(-1,1]时,将函数化为方程x2+=1(y≥0), ∴实质上为一个半椭圆,其图象如图所示, 同时在坐标系中作出当x∈(1,3]得图象,再根据周期性作出函数其它部分的图象, 由图易知直线 y=与第二个椭圆(x-4)2+=1(y≥0)相交, 而与第三个半椭圆(x-8)2+=1 (y≥0)无公共点时,方程恰有5个实数解, 将 y=代入(x-4)2+=1 (y≥0)得,(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,令t=9m2(t>0), 则(t+1)x2-8tx+15t=0,由△=(8t)2-4×15t (t+1)>0,得t>15,由9m2>15,且m>0得 m, 同样由 y=与第三个椭圆(x-8)2+=1 (y≥0)由△<0可计算得 m<, 综上可知m∈(,) 故答案为:(,)
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