Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=，点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，求：
（1）该直三棱柱的侧面积；
（2）（理）异面直线DB₁与EA₁所成的角的大小（用反三角函数值表示）
（3）（文）异面直线DE与A₁B₁所成的角的大小．

Answer

（1）根据题意求出AC、AB的长，然后利用直三棱柱的侧面展开图是矩形，并且该矩形的长为△ABC的周长，宽为三棱柱的高，即可求得结果；
（2）（理）取B1C1的中点为F，连接EF，A1F，根据题意可得：四边形B1DEF是平行四边形，即可得到B1D∥EF，可得∠FEA1与异面直线DB1与EA1所成的角相等，再利用解三角形的有关求出异面直线的夹角．
（3）（文）根据几何体的结构特征可得：AB∥A1B1，进而得到∠ADE就是异面直线DE与A1B1所成的角，再根据题意异面直线的夹角即可．
【解析】
（1）∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2，AC=，
∴S侧=（AB+AC+BC）AA1=，
所以直三棱柱的侧面积．
（2）（理）取B1C1的中点为F，连接EF，A1F，

所以B1F∥BC，并且B1F=BC，
因为点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，
所以DE∥BC，并且DE=BC，
所以B1F∥DE，并且B1F=DE，
所以四边形B1DEF是平行四边形，
所以B1D∥EF，
所以∠FEA1与异面直线DB1与EA1所成的角相等．
取BC的中点为H，连接FH，EH，
因为BC=1，AA1=，点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，
所以EA1=，A1F=，FE=，
所以在△FEA1中有余弦定理可得：cos∠FEA1==，
所以异面直线DB1与EA1所成的角的大小为arccos．
（3）（文）∵AB∥A1B1，
∴∠ADE就是异面直线DE与A1B1所成的角
∵点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，∠ABC=60°，
∴∠ADE=60°，
∴异面直线DE与A1B1所成的角为60°．