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在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且b,a,c成等差数列,b...

在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且b,a,c成等差数列,b≥c,已知B(-1,0),C(1,0).   
(1)求顶点A的轨迹L;   
(2)是否存在直线m,使m过点B并与曲线L交于不同的两点P、Q,且|PQ|恰好等于原点到直线m的距离的倒数?若存在,求出m的方程,若不存在,说明理由.
(1)根据b,a,c成等差数列可得b+c=2a即|AB|+|AC|=4>|BC|=2再结合b≥c可得点A的轨迹L是左半个椭圆(去掉左顶点)然后根据椭圆的定义即可写出点A的轨迹方程. (2)可假设存在直线m满足题意则根据弦长公式可知要求|PQ|需将直线m与曲线L的方程联立消去y然后根据根与系数的关系求出x1+x2,x1•x2再代入弦长公式即可求出|PQ|但在写出过点B的直线时吥不知斜率存在与否故需对直线m的斜率存在与否进行讨论. 【解析】 (1)由题设知b+c=2a,|BC|=2 ∴|AB|+|AC|=b+c=2a=2|BC|=4         又∵b≥c ∴由椭圆的定义知点A的轨迹L是左半个椭圆(去掉左顶点)即轨迹方程为:=1(-2<x≤0)     (2)假设存在直线m满足题意         ①当m斜率存在时设m的方程为y=k(x+1),把它代入椭圆方程,消去y得(4k2+3)x2+8k2x-12+4k2=0.           设P(x1,y1)Q(x2,y2)则x1+x2=-,x1•x2=           又∵x1≤0,x2≤0 ∴x1x2≥0 ∴k2≥3, ∴|PQ|==           设原点O到直线m的距离为d,则d= ∵|PQ|= ∴= ∴k2=<3,这与k2≥3矛盾,表明直线m不存在       ②当斜率不存在时m的方程为x=-1,此时|PQ|=|y1-y2|=3,d=1,|PQ|≠,         所以不满足题设        综上,满足题设的条件不存在
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考点分析:
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D.|FP2|2=|FP1|•|FP3|
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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