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对于函数 f(x),若存在x∈R,使 f(x)=x成立,则称x为f(x)的“滞点...

对于函数 f(x),若存在x∈R,使 f(x)=x成立,则称x为f(x)的“滞点”.已知函数f ( x )=manfen5.com 满分网
(I)试问f(x)有无“滞点”?若有,求之,否则说明理由;
(II)已知数列{an}的各项均为负数,且满足manfen5.com 满分网,求数列{an}的通项公式;
(III)已知bn=an•2n,求{bn}的前项和Tn
(I)由,令f(x)=x,得x2-2x=0,解得x=0,或x=2.由此知f(x)存在两个滞点0和2. (II)由题得,所以2Sn=an-an2,故2Sn+1=an+1-an+12, 由②-①得2an+1=an+1-an+12-an+an2,∴(an+1+an)(an+1-an+1)=0∵an<0∴an+1-an=-1,由此能求出数列{an}的通项公式. (III)由Tn=-1•2-2•22-3•23-…-n•2n,知2Tn=-1•22-2•23-3•24-…-(n-1)•2n-n•2n+1.由此能求出{bn}的前项和Tn. 【解析】 (I)由, 令f(x)=x,…(2分) 得x2-2x=0,解得x=0,或x=2. 即f(x)存在两个滞点0和2.…(4分) (II)由题得, ∴2Sn=an-an2…①…(5分) 故2Sn+1=an+1-an+12…② 由②-①得2an+1=an+1-an+12-an+an2, ∴(an+1+an)(an+1-an+1)=0, ∵an<0, ∴an+1-an=-1, 即{an}是等差数列,且d=-1…(9分) 当n=1时,由2S1=a1-a12=2a1得a1=-1 ∴an=-n…(11分) (III)∵Tn=-1•2-2•22-3•23-…-n•2n…③ ∴2Tn=-1•22-2•23-3•24-…-(n-1)•2n-n•2n+1…④ 由④-③得Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1 =…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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