Question

某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（m²）与时间t（月）之间的函数关系是y=a^t-1（a＞0，且a≠1），它的图象如图所示．给出以下命题：
①池塘中原有浮草的面积是0.5m²；
②到第7个月浮草的面积一定能超过60m²
③浮草每月增加的面积都相等；
④若浮草面积达到4m²，16m²，64m²所经过时间分别为t₁，t₂，t₃，则t₁+t₂＜t₃，其中所有正确命题的序号是（ ）

A．①②
B．①④
C．②③
D．②④

Answer

先根据图象经过点（2，2）求出a，代入函数的解析式，即可求出底数a，进而即可求出这个指数函数的表达式；然后对各个选择支进行逐一判断即可．令t=0时，y==0.5即可对①进行判断；对于②，将t=7代入函数的解析式，即可求出第7个月时浮萍的面积；对于③，当t=1时，和当t=2时，计算这两个月增加的面积；分别将y=4、16、64分别代入函数解析式，求出对应的t值，即可对于④进行判断．
【解析】
根据图象过点（2，2）可知
点（2，2）适合y=at-1即2=a
∴函数关系是y=2t-1
令t=0时，y==0.5，故①正确；
令t=7时，y=26=64＞60，故②正确；
当t=1时，y=1，增加0.5，当t=2时，y=2，增加1，每月增加的面积不相等，故③不正确；
分别令y=4、16、64，解得t1=3，t2=5，t3=7，t1+t2＞t3，故④不正确．
其中所有正确命题的序号是：①②
故选A．