Question

如图，已知直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC₁的中点，A₁D⊥BE．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的大小；
（Ⅲ）求点B到平面A₁DE的距离．

Answer

（Ⅰ）由直平行六面体ABCD-A1B1C1D1，可知AA1⊥面ABCD，根据A1D⊥BD，A1D⊥BE，可证A1D⊥平面BDE．
（Ⅱ）过M作MN⊥DE于N，连BN．易证BNM就是二面角B-DE-C的平面角，在Rt△BMN中，可求二面角B-DE-C的大小；
（Ⅲ）易证BN⊥平面A1DE，从而BN的长就是点B到平面A1DE的距离，故可求点B到平面A1DE的距离．
（Ⅰ）证明：∵直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥面ABCD
又∵AD⊥BD，∴A1D⊥BD．…（2分）
又A1D⊥BE，∴A1D⊥平面BDE．…（3分）
（Ⅱ）【解析】
连B1C．∵A1B1∥CD，∴B1C∥A1D．∵A1D⊥BE，∴B1C⊥BE，
∴∠BB1C=∠CBE，∴Rt△BB1C∽Rt△CBE，
∴．∵，∴，∴．…（5分）
取CD中点M，连BM．∵，∴．
过M作MN⊥DE于N，连BN．∵平面CD1⊥平面BD，BM⊥CD，∴BM⊥平面CD1，
∴BN⊥DE，∴∠BNM就是二面角B-DE-C的平面角．…（7分）∵，
∴．在Rt△BMN中，，∴．
即二面角B-DE-C等于．…（9分）
（Ⅲ）【解析】
∵A1D⊥平面BDE，BN⊂平面BDE，∴A1D⊥BN．…（10分）
又∵BN⊥DE，∴BN⊥平面A1DE，即BN的长就是点B到平面A1DE的距离．…（11分）
∵，∴，
即点B到平面A1DE的距离为．…（12分）