Question

已知函数y=f（x）对任意的实数都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（Ⅰ）记a_n=f（n）（n∈N*），S_n=，且{b_n}为等比数列，求a₁的值．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设c_n=，问：是否存在最大的整数m，使得对于任意n∈N*，均有c_n＞？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据数列与函数的关系，确定出数列{an}的通项公式即函数的解析式，利用数列{bn}与数列{an}的关系，根据数列{bn}为等比数列，寻找其前3项满足的关系式，通过求解方程求出a1的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中确定的数列{an}的通项公式，求出其前n项和表达式，进而确定出数列{bn}的通项公式，算出cn的表达式．利用cn的单调性确定出其最小值，进而确定出合题意的m．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x+y）=f（x）•f（y）对于任意的x∈R均成立，
∴f（n+1）=f（n）•f（1），即an+1=an•a1．
∴f（1）≠0，∴a1≠0，∴an≠0（n∈N*），
∴{an}是以a1为首项，a1为公比的等比数列，∴an=a1n．
当a1=1时，an=1，Sn=n，此时bn=2n+1，{bn}不是等比数列，
∴a1≠1．又{an}成等比数列，{bn}成等比数列，∴b22=b1b3．
∵b1=，b3=，∴，解得a1=．

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，an=，
bn=+1，∴anbn=2Sn+an=1-=1．∴cn=．
由cn+1-cn=1-＞0，得n（n+1）＞8．
∵n∈N*，∴n≥3．
∵c1=9，c2=6，c3=＜16，且当n≥4时，均有cn＞c3=，
∴存在这样的m=16，能使对所有的∵n∈N*，有cn＞成立．