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对于函数f(x)和g(x),若存在常数k,m,对于任意x∈R,不等式f(x)≥k...

对于函数f(x)和g(x),若存在常数k,m,对于任意x∈R,不等式f(x)≥kx+m≥g(x)都成立,则称直线
y=kx+m是函数f(x),g(x)的分界线.已知函数f(x)=ex(ax+1)(e为自然对数的底,a∈R为常数).
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设a=1,试探究函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+1是否存在“分界线”?若存在,求出分界线方程;若不存在,试说明理由.
(Ⅰ)f′(x)=ex(ax+1+a),当a>0时,f′(x)>0⇔函数f(x)在区间(-1-,+∞)上是增函数,在区间(-∞,-1-)上是减函数;a=0时,f′(x)>0,函数f(x)是区间(-∞,+∞)上的增函数;当a<0时,f′(x)>0⇔ax>-a-1,函数f(x)在区间(-∞,-1-)上是增函数,在区间(-1-,+∞)上是减函数. (Ⅱ)若存在,则ex(x+1)≥kx+m≥-x2+2x+1恒成立,令x=0,得m=1,因此x2+(k-2)x≥0恒成立,由此及彼能推导出函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+1存在“分界线”. 【解析】 (Ⅰ)f′(x)=ex(ax+1+a),(2分) 当a>0时,f′(x)>0⇔ax>-a-1,即x>-1-, 函数f(x)在区间(-1-,+∞)上是增函数, 在区间(-∞,-1-)上是减函数;(3分) 当a=0时,f′(x)>0,函数f(x)是区间(-∞,+∞)上的增函数;(5分) 当a<0时,f′(x)>0⇔ax>-a-1,即x<-1-, 函数f(x)在区间(-∞,-1-)上是增函数,在区间(-1-,+∞)上是减函数.(7分) (Ⅱ)若存在,则ex(x+1)≥kx+m≥-x2+2x+1恒成立, 令x=0,则1≥m≥1, 所以m=1,(9分) 因此:kx+1≥-x2+2x+1恒成立,即x2+(k-2)x≥0恒成立, 由△≤0得到:k=2, 现在只要判断ex(x+1)≥2x+1是否恒成立,(11分) 设∅(x)=ex(x+1)-(2x+1), 因为:∅′(x)=ex(x+2)-2, 当x>0时,ex>1,x+2>2,∅′(x)>0, 当x<0时,ex(x+2)<2ex<2,∅′(x)<0, 所以∅(x)≥∅(0)=0,即ex(x+1)≥2x+1恒成立, 所以函数f(x)与函数g(x)=-x2+2x+1存在“分界线”. 方程为y=2x+1.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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