Question

若定义在R上的减函数y=f（x），对于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）≤-f（2y-y²）成立；且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，则当 1≤x≤4时，的取值范围    ．

Answer

根据函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，可知函数是奇函数，再利用在R上的减函数，转化为具体的不等式，故可解．
【解析】
根据函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
可知函数是奇函数，
所以由f（x2-2x）≤-f（2y-y2），
得f（x2-2x）≤f（-2y+y2），
∵在R上的减函数y=f（x），
∴x2-2x≥-2y+y2，
，或，
这两个不等式组表示的平面区域如图所示．
∵1≤x≤4，
∴取两个不等式组表示的平面区域中的△ABC所在的区域，
指的是△ABC区域中的点与原点连线的斜率．
当x=4，y=-2时，取得最小值-，
当x=y时，取得最大值1．
∴，
故答案为[-，1]．