Question

P、Q是抛物线y=x²上顶点以外的两点，O为坐标原点．∠POQ=，直线l₁、l₂分别是过P、Q两点抛物线的切线．（Ⅰ）则l₁、l₂的交点M点的轨迹方程是    ；（Ⅱ）若l₁、l₂分别交x轴于A、B两点，则过△ABM的垂心与点的直线方程是    ．

Answer

（Ⅰ）先设出M（x，y），P（x1，y1），Q（x2，y2），根据．∠POQ=，得到含M，P，Q三点坐标的关系式，再因为直线l1、l2分别是过P、Q两点抛物线的切线，所以直线l1、l2的斜率分别是抛物线在P，Q两点处的导数，再求出直线l1、l2的方程，联立解出交点坐标，把得到的式子与前面得到的式子联立化简，就可得到M点的轨迹方程．
（Ⅱ）先求边BM上的高所在直线，其过点A，且斜率为，再与AB边上的高x= 联立即可得垂心的纵坐标，最后两点所在直线方程为一条垂直于y轴的直线
【解析】
（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x，y）
∵∠POQ=
∴==      ①
∵直线l1、l2分别是过P、Q两点抛物线的切线，y=x2，y′=2x
∴直线l1的方程为y-x12=2x1（x-x1）
直线l2的方程为y-x22=2x2（x-x2）
∴l1、l2的交点
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4x2-2y，y12+y22=x14+x24=（x12+x22）2-2x12x22=（4x2-2y）2-2y2   ②
将②代入①得
=
化简得4x2-y2-6y-1=0（y≠0）
故答案为4x2-y2-6y-1=0（y≠0）
（Ⅱ）由（I）得，A（，0），B（，0）
过点A，且与l2垂直的直线方程为y=（x-）     ③
过点M，且与AB垂直的直线方程为x=          ④
将④代入③得△ABM的垂心纵坐标y=-
∴过△ABM的垂心与点的直线方程是y=-
故答案为y=-