Question

已知f（x）满足其中a＞0且a≠1．
（1）对于x∈（-1，1）时，试判断f（x）的单调性，并求当f（1-m）+f（1-m²）＜0时，求m的值的集合．
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，求a的取值范围．

Answer

（1）首先由换元法求出f（x）的解析式，由定义判断函数的单调性和奇偶性，应用函数的奇偶性将已知不等式转化为f（1-m）＜f（m2-1），再利用单调性转化为求解即可．
（2）由（1）中的单调性可直接转化为f（2）-4≤0，解不等式即可．
【解析】
（1）令logax=t，则x=at，所以，即
当a＞1时，因为ax-a-x为增函数，且＞0，所以f（x）在（-1，1）上为增函数；
当0＜a＜1时，因为ax-a-x为减函数，且＜0，所以f（x）在（-1，1）上为增函数；
综上所述，f（x）在（-1，1）上为增函数．
又因为f（-x）==-f（x），故f（x）为奇函数．
所以f（1-m）+f（1-m2）＜0⇔f（1-m）＜-f（1-m2）⇔f（1-m）＜f（m2-1）
由f（x）在（-1，1）上为增函数，可得
解得1＜m＜，即m的值的集合为{m|1＜m＜}
（2）由（1）可知，f（x）为增函数，故x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数
只要f（2）-4≤0即可，即f（2）==＜4
解得
又a≠1，可得符合条件的a的取值范围是