Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=4，且PQ⊥QD，求二面角A-PD-Q的大小．

Answer

（Ⅰ）在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，则PQ2+QD2=PD2，从而可得方程，利用判别式大于等于0，可求a的取值范围；
（Ⅱ）因为面PAD⊥面ABCD，所以过Q作 QM⊥AD，则QM⊥面PAD，过M作MN⊥PD，由三垂线定理有QN⊥PD，从而∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角，再在△MNQ中，利用正切函数可求．
【解析】
（Ⅰ）设BQ=t，AQ2=3+t2，则
PQ2=19+t2，QD2=3+（a-t）2，PD2=16+a2
由PQ⊥QD得：19+t2+3+（a-t）2=16+a2，即t2-at+3=0
∴△=a2-12≥0．
（Ⅱ）由（Ⅱ）得当a=4时，t2-4t+3=0，t=1或t=3
因为面PAD⊥面ABCD，
所以过Q作 QM⊥AD，则QM⊥面PAD，
过M作MN⊥PD，由三垂线定理有QN⊥PD
所以∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角
在Rt△PAD中，，
当t=1时，
当t=3时，
∴二面角A-PD-Q的大小为arctan．