Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b；等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，其中a，b∈N₊，
且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（1）求a的值；
（2）若对于任意n∈N₊，总存在m∈N₊，使a_m+3=b_n，求b的值；
（3）在（2）中，记{c_n}是所有{a_n}中满足a_m+3=b_n，m∈N₊的项从小到大依次组成的数列，又记S_n为{c_n}的前n项和，t_n和{a_n}的前n项和，求证：S_n≥T_n（n∈N）．

Answer

（1）由a＜a+b＜ab＜a+2b，a，b∈N+，知，由此能求出a的值；
（2）由am=2+（m-1）b，bn=5•2n-1由am+3=bn可得5+（m-1）b=b•2n-1．b（2n-1-m+1）=5．由此能求出b的值；
（3）由（2）知an=5n-3，bn=5•2n-1，am=bn-3=5•2n-1-3，Cn=5•2n-1-3，Sn=5（2n-1）-3n，Tn=n（5n-1）．由此能够证明Sn≥Tn（n∈N+）．
【解析】
（1）∵a＜a+b＜ab＜a+2b，a，b∈N+，
∴，∴，
∴，∴．
∴a=2或a=3（a=3时不合题意，舍去）．∴a=2．

（2）am=2+（m-1）b，bn=5•2n-1由am+3=bn可得
5+（m-1）b=b•2n-1．∴b（2n-1-m+1）=5．
∴b=5

（3）由（2）知an=5n-3，bn=5•2n-1，∴am=bn-3=5•2n-1-3
∴Cn=5•2n-1-3，Sn=5（2n-1）-3n，Tn=n（5n-1）．
∵S1=T1=2，S2=T2=9．
当n≥3时，Sn-Tn=5[2n-n2-n-1]
=5[（1+1）n-n2-n-1]
=5[（1+Cn1+Cn2+Cn3+…）-n2-n-1]＞5[1+n+-n2-n-1]=0．
∴Sn＞Tn．综上得Sn≥Tn（n∈N+）．