Question

曲线与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

如图，求出 BC的斜率，根据圆心到切线的距离等于半径，求得切线BE的斜率k′，由题意可知，k′＜k≤KBC，从而得到实数k的取值范围．
【解析】
曲线 即  x2+（y-1）2=4，（y≥1），表示以A（0，1）为圆心，以2为半径的圆位于直线 y=1 上方的部分（包含圆与直线y=1 的交点C和 D），是一个半圆，如图：
直线y=k（x-2）+4过定点B（2，4），设半圆的切线BE的切点为E，则 BC的斜率为 KBC==．
设切线BE的斜率为k′，k′＞0，则切线BE的方程为  y-4=k′（x-2），根据圆心A到线BE距离等于半径得
2=，k′=，
由题意可得 k′＜k≤KBC，∴＜k≤，
故选 A．