Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是棱AB，CC₁，D₁A₁，BB₁的中点．
（1）证明：FH∥平面A₁EG；
（2）证明：AH⊥EG；
（3）求三棱锥A₁-EFG的体积．

Answer

（1）根据正方体的几何特征，我们易证明FH∥A1G，结合线面平行的判定定理，即可得到FH∥平面A1EG；
（2）根据正方体的几何特征，易得AH⊥A1G，AH⊥A1E，结合线面垂直的判定定理，即可得到AH⊥平面A1EG，再由线面垂直的性质，即可得到AH⊥EG；
（3）连接HA1，HE，HG，结合（1）的结论可得，求出棱锥的底面面积和高后，代入棱锥体积公式即可得到答案．
【解析】
（1）证明：∵FH∥B1C1，B1C1∥A1G，∴FH∥A1G
又A1G⊂平面A1GE，FH⊄平面A1GE，∴FH∥平面A1EG
（2）∵A1G⊥平面ABB1A1，AH⊂平面ABB1A1，∴AH⊥A1G
又∵△ABH≌△A1AE，∴∠HAB=∠EA1A∵∠A1AH+∠HAB=90°，∴∠A1AH+∠EA1A=90°，∴AH⊥A1E
又∵A1G∩A1E=A1，∴AH⊥平面A1EG，∵EG⊂平面A1EG，故AH⊥EG
（3）连接HA1，HE，HG，由（1）得FH∥平面A1EG，∴
又，∴