Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求b的值；
（2）求a的取值范围．

Answer

（1）根据函数的单调性判断出x=0是函数的一个极值点，求出函数的导函数，令f′（0）=0，求出b的值．
（2）将b的值代入f（x），将x=1代入f（x）的解析式令其值为0，得到a，c的关系，求出导函数，令导函数为0，得到函数的两个极值点，据函数的三个根，令求出a的范围．
【解析】
（1）∵f（x）=-x3+ax2+bx+c
∴f'（x）=-3x2+2ax+b．
因为f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
所以当x=0时，f（x）取到极小值，即f'（0）=0
∴b=0．
（2）由（1）知，f（x）=-x3+ax2+c
∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，
∴c=1-a
∵f'（x）=-3x2+2ax=0的两个根分别为．
又∵f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴，
即．