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满分5
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高中数学试题
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已知a∈R,函数,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数). ...
已知a∈R,函数
,g(x)=(lnx-1)e
x
+x(其中e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(2)是否存在实数x
∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x
处的切线与y轴垂直?若存在,求出x
的值;若不存在,请说明理由.
(1)讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值,将f(x)的各极值与其端点的函数值比较,其中最小的一个就是最小值; (2)将曲线y=g(x)在点x=x处的切线与y轴垂直转化成方程g'(x)=0有实数解,只需研究导函数的最小值即可. 【解析】 (1)∵, ∴ 令f'(x)=0,得x=a. ①若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值. ②若0<a<e,当x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减, 当x∈(a,e]时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增, 所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna ③若a≥e,则f'(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减, 所以当x=e时,函数f(x)取得最小值. .综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为lna; 当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为. (2)∵g(x)=(lnx-1)ex+x,x∈(0,e], ∴g'(x)=(lnx-1)′ex+(lnx-1)(ex)′+1=. 由(1)可知,当a=1时,. 此时f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln1=0,即.(10分) 当x∈(0,e],,, ∴. 曲线y=g(x)在点x=x处的切线与y轴垂直等价于方程g'(x)=0有实数解.(13分) 而g'(x)>0,即方程g'(x)=0无实数解.、故不存在x∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x处的切线与y轴垂直.
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考点分析:
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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