Question

已知四棱锥中P-ABCG中，底面ABCG是矩形，D为AG的中点，BC=2AB=2，又PB⊥平面ABCG，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD．

Answer

（I）取BC中点F，连接AF，可以证出四边形ADCF是平行四边形，得到CD与AF互相平行，从而得到AF与PA所成的直角或锐角就是异面直线PA与CD所成的角，再利用垂直关系和已知的线段长可计算出△PAF是等边三角形，故异面直线PA与CD所成的角为60°；
（II）利用中线等于一边的一半证明出CD⊥BD，结合CD⊥PB得到CD⊥平面PBD，从而CD⊥BE．再在Rt△PBD中利用已知线段的长可以算出，从而利用相似三角形证出BE⊥PD，结合线面垂直的判定定理，得到BE⊥平面PCD．
【解析】
（Ⅰ）取BC中点F，连接AF，则CF=AD且CF∥AD
∴四边形ADCF是平行四边形⇒AF∥CD
∴∠PAF（或其补角）为异面直线PA、CD所成的角
∵PB⊥平面ABCG，BA、BF是平面ABCG内的直线
∴PB⊥BA，PB⊥BF
∵PB=AB=BF=1，AB⊥BC
∴PA=PF=AF=⇒△PAF是等边三角形，∠PAF=60°
∴异面直线PA与CD所成的角为60°
（II）由（I）知，CF=BF=DF
∴∠CDB=90°⇒CD⊥BD
又∵PB⊥平面DBC⇒PB⊥CD
∵PB∩BD=B
∴CD⊥平面BDP⇒CD⊥BE
在Rt△PBD中，PB=1、BD=
∴
∵DE=2PE，得
∴⇒△PBE∽△PDB
∴BE⊥PD
∵CD∩PD=D
∴BE⊥平面PCD