Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0，），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K_PM、K_PN时，那么K_PM与K_PN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线-=1写出具有类似特性的性质（不必给出证明）．

Answer

（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，利用椭圆的定义，求出a，b，c 即可得到椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P的坐标，代入（Ⅰ）中所得椭圆方程，利用Q（0，），求|PQ|的表达式，结合y的范围即可求出y的最大值；
（Ⅲ）类似椭圆的定义，直接把椭圆换为双曲线即可得到性质．
【解析】
（Ⅰ）椭圆C的焦点坐标在x轴上，由椭圆上的点A到到F1、F2两点的距离之和等于4，
得2a=4，即a=2，
又椭圆C上的点A（1，），因此，解得b=，所以c=1，
所以椭圆的标准方程为，F1、F2两焦点坐标为（-1，0），（1，0）．
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点设（x，y），
则，∴，Q（0，），
=-=，
因为，
∴时，|PQ|的最大值=；
（Ⅲ）类似性质，若M、N是双曲线双曲线-=1上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．