Question

设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（ ）
①存在一个圆与所有直线相交②存在一个圆与所有直线不相交；
③存在一个圆与所有直线相切④M中所有直线均经过一个定点；
⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；
⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
A．3
B．4
C．5
D．6

Answer

根据已知可知直线系M都为以（0，2）为圆心，以1为半径的圆的切线，取半径为2即可得到所以①对；存在圆心为（0，2），半径为的圆与直线都不相交，所以②对；③显然对；④错；⑤错，存在可取一点（0，2）即可验证；⑥，⑦可去三角形的外接正三角形所有边均在M中的直线上且面积相等，所以⑥⑦都正确．
【解析】
根据直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；
可取圆心为（0，2），半径分别为2，，1得到①②③正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，④错；存在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以⑤错；存在等边三角形的三边都在M中的直线上，⑥⑦对，可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等；可知①②③⑥⑦正确，④⑤错，所以真命题的个数为5个
故选C