Question

给定项数为m（m∈N^*，m≥3）的数列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，…m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m-1），若数列{a_n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a_n}是“k阶可重复数列”．例如数列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0．因为a₁，a₂，a₃，a₄与a₄，a₅，a₆，a₇按次序对应相等，所以数列{a_n}是“4阶可重复数列”．假设数列{a_n}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a_m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a₄=1，数列{a_n}的最后一项a_m=    ．

Answer

利用反证法证明a4=am=1．假设如果a1，a2，a3，a4与am-3，am-2，am-1，am不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3、aj，aj+1，aj+2，aj+3与am-3，am-2，am-1，am按次序对应相等．考虑ai-1，aj-1和am-4，其中必有两个相同，这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{an}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾得证．
【解析】
由于数列{an}在其最后一项am后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{an}的末项am后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3，ai+4与am-3，am-2，am-1，am，0按次序对应相等，或aj，aj+1，aj+2，aj+3，aj+4与am-3，am-2，am-1，am，1按次序对应相等，
如果a1，a2，a3，a4与am-3，am-2，am-1，am不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3、aj，aj+1，aj+2，aj+3与am-3，am-2，am-1，am按次序对应相等．
此时考虑ai-1，aj-1和am-4，其中必有两个相同，这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{an}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾；
所以a1，a2，a3，a4与am-3，am-2，am-1，am按次序对应相等，
从而am=a4=1．
故答案为1