Question

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点B₁在底面上的射影D落在BC上．

（1）若点D恰为BC的中点，且AB₁⊥BC₁求α的值．
（2）若α=arccos，且当AC=BC=AA₁时，求二面角C₁-AB-C的大小．

Answer

（1）由题意可得：B1D⊥AC，再结合题意得到：AC⊥面BB1C1C，得到平行四边形BB1C1C为菱形，再根据解三角形的有关知识可得：∠B1BC=60°，进而结合线面角的定义得到答案．
（2）过C1作C1E⊥BC，垂足为E，则C1E⊥平面ABC．过E作EF⊥AB，垂足为F，则根据二面角平面角的定义可得：∠C1FE是所求二面角C1-AB-C的平面角，吧平面角放入直角三角形，进而利用解三角形的有关知识求出二面角的平面角．
【解析】
（1）∵B1D⊥面ABC，
∴B1D⊥AC，
又∵AC⊥BC，
∴AC⊥面BB1C1C．
∵AB1⊥BC1，
∴由三垂线定理可知，B1C⊥BC1，即平行四边形BB1C1C为菱形，
又∵B1D⊥BC，且D为BC的中点，
∴B1C=B1B，即△BB1C为正三角形，
∴∠B1BC=60°，
∵B1D⊥面ABC，且点D落在BC上，
∴∠B1BC即为侧棱与底面所成的角，
∴α=60°．
（2）过C1作C1E⊥BC，垂足为E，则C1E⊥平面ABC．过E作EF⊥AB，垂足为F，由三垂线定理得⊥F⊥AB．
∴根据二面角平面角的定义可得：∠C1FE是所求二面角C1-AB-C的平面角．
设AC=BC=A1A=a，
在Rt△CC1E中，由∠C1CE=α=srccos可得C1E=a，
所以在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=BE=a，
所以∠C1FE=45°．
故所求的二面角C1-AB-C为45°．