Question

已知抛物线C：与直线l：y=kx-1没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．
（1）证明：直线AB恒过定点Q；
（2）若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：．

Answer

（1）先设出切点坐标A（x1，y1），B（x2，y2），利用导数的几何意义求以A、B为切点的切线方程，再设出P（x，kx-1），代入两条切线方程，得kx-1=xx1-y1．kx-1=xx2-y2．故直线AB的方程为kx-1=xx-y，过定点（k，1）
（2）先写出直线PQ的方程y=（x-k）+1，代入抛物线方程，得关于x的一元二次方程，为利用韦达定理准备条件，再设M（x3，y3），N（x4，y4），要证=，只需证明，即2x3x4-（k+x）（x3+x4）+2kx=0，最后利用韦达定理将x3+x4和x3x4代入即可得证
【解析】
（1）设A（x1，y1），则y1=．
由得y′=x，所以．
于是抛物线C在A点处的切线方程为y-y1=x1（x-x1），即y=x1x-y1．
设P（x，kx-1），则有kx-1=xx1-y1．设B（x2，y2），同理有kx-1=xx2-y2．
所以AB的方程为kx-1=xx-y，即x（x-k）-（y-1）=0，所以直线AB恒过定点Q（k，1）．
（2）PQ的方程为y=（x-k）+1，与抛物线方程联立，消去y，得
x2-x+=0
设M（x3，y3），N（x4，y4），则x3+x4=，x3x4=①
要证=，只需证明，即2x3x4-（k+x）（x3+x4）+2kx=0②
由①知，②式
左边=-（x+x）+2kx
==0．
故②式成立，从而结论成立．