Question

数列{K_n}定义如下：K₁=，K_n+1=，n∈N^*．
（1）求K₂，K₃的值；
（2）写出{K_n}的通项；
（3）若数列{T_n}定义为：T_n=2ⁿ⁺¹K_n，n∈N^*，
①证明：T_n＜T_n+1，n∈N^*；               ②证明：T_n＜7，n∈N^*．

Answer

（1）通过已知条件，n=2，3，直接求K2，K3的值；
（2）利用K1，K2，K3的值，找出规律，直接推测出{Kn}的通项公式；
（3）①利用数列{Tn}定义为：Tn=2n+1Kn，n∈N*，直接求出，推出它的值小于1；
②利用当0＜x＜时，sinx＜x，推出Tn的值，通过放缩得到证明的结果．
【解析】
（1）K2===2sin，K3==2sin （其他合理答案也给分）．
（2）设K1=2sin，则K2=
==
==2sin．
一般地，若Kk=2sin，则由递推关系可知：Kk+1=2sin∴{Kn}的通项公式为 Kn=2sin （n∈N）
（3）①∵Tn=2n+2sin，于是
==cos＜1，
∴Tn＜Tn+1，n∈N*
②因为当0＜x＜时，sinx＜x，所以Tn=2n+2sin＜2n+2×=2π＜7．