Question

定义域均为R的奇函数f （x）与偶函数g （x）满足f （x）+g （x）=10^x．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）证明：g（x₁）+g（x₂）≥2g（）；
（3）试用f（x₁），f（x₂），g（x₁），g（x₂）表示f（x₁-x₂）与g（x₁+x₂）．

Answer

（1）由题意可得：f（x）+g（x）=10x，再根据函数的奇偶性可得：f（-x）+g（-x）=10-x=-f（x）+g（x），进而结合两个式子求出两个函数的解析式．
（2）（法一）由（1）可得g（x1）+g（x2）的表达式，再利用基本不等式把g（x1）+g（x2）进行化简整理即可得到答案．
（法二））要证明原不等式成立，只要证g（x1）+g（x2）-2g（）≥0即可
（3）由（1）可得f（x1）、f（x2）、g（x1）、g（x2）、f（x1-x2）与g（x1+x2）的表达式与结构特征，进而可求
【解析】
（1）∵f（x）+g（x）=10x ①
∴f（-x）+g（-x）=10-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
∴-f（x）+g（x）=10-x ②
由①，②解得f（x）=（10x-），g（x）=（10x+）．
（2）解法一：
=
==
（法二）∵g（x1）+g（x2）-2g（）=-（）
=
=≥=0
∴g（x1）+g（x2）≥2g（）
（3））∵f（x）=（10x-），g（x）=（10x+）．
∴f（x1-x2）=
=
=
=
=f（x1）g（x2）-g（x1）f（x2）
同理可得，g（x1+x2）==g（x1）g（x2）-f（x1）f（x2）．