Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=1，AB=，BC=，AA₁=．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥B₁C；
（Ⅱ）求二面角A₁-B₁C-B的大小．

Answer

（I）根据ABC-A1B1C1是直三棱柱得到面ABB1A1⊥面ABC，从而证得AC⊥面ABB1A1，连接AB1，可得A1B⊥AB1，最后由三垂线定理得A1B⊥B1C；
（II）作BD⊥B1C，垂足为D，连接A1D，根据二面角平面角的定义可知∠A1DB为二面角A1-B1C-B的平面角，根据Rt△A1B1C≌Rt△B1BC，可求出此角，从而得到二面角A1-B1C-B的大小．
【解析】
（I）由AC=1，AB=，BC=知AC2+AB2=BC2，
所以AC⊥AB．
因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，面ABB1A1⊥面ABC，
所以AC⊥面ABB1A1．（3分）
由，知侧面ABB1A1是正方形，连接AB1，
所以A1B⊥AB1．
由三垂线定理得A1B⊥B1C．（6分）

（II）作BD⊥B1C，垂足为D，连接A1D．由（I）知，A1B⊥B1C，则B1C⊥面A1BD，
于是B1C⊥A1D，则∠A1DB为二面角A1-B1C-B的平面角．（8分）∵A1B1⊥A1C1，∴A1B1⊥A1C．
∵，
∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC，
∴，
∴，
，
故二面角A1-B1C-B的大小为．（12分）