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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=1,AB=,BC=,AA1=. (...

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=1,AB=manfen5.com 满分网,BC=manfen5.com 满分网,AA1=manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求证:A1B⊥B1C;
(Ⅱ)求二面角A1-B1C-B的大小.
(I)根据ABC-A1B1C1是直三棱柱得到面ABB1A1⊥面ABC,从而证得AC⊥面ABB1A1,连接AB1,可得A1B⊥AB1,最后由三垂线定理得A1B⊥B1C; (II)作BD⊥B1C,垂足为D,连接A1D,根据二面角平面角的定义可知∠A1DB为二面角A1-B1C-B的平面角,根据Rt△A1B1C≌Rt△B1BC,可求出此角,从而得到二面角A1-B1C-B的大小. 【解析】 (I)由AC=1,AB=,BC=知AC2+AB2=BC2, 所以AC⊥AB. 因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,面ABB1A1⊥面ABC, 所以AC⊥面ABB1A1.(3分) 由,知侧面ABB1A1是正方形,连接AB1, 所以A1B⊥AB1. 由三垂线定理得A1B⊥B1C.(6分) (II)作BD⊥B1C,垂足为D,连接A1D.由(I)知,A1B⊥B1C,则B1C⊥面A1BD, 于是B1C⊥A1D,则∠A1DB为二面角A1-B1C-B的平面角.(8分)∵A1B1⊥A1C1,∴A1B1⊥A1C. ∵, ∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC, ∴, ∴, , 故二面角A1-B1C-B的大小为.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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