Question

函数f（x）=a^x-x，（a＞1），求f（x）最小值，并求最小值小于0时，a的取值范围．

Answer

（1）利用对数的定义求出f'（x）=0时的x值，根据x的范围讨论函数的增减性，得到函数的最小值；
（2）让最小值小于0列出不等式，根据对数函数的性质求出解集即可得到a的范围．
【解析】
（1）f'（x）=axlna-1，f'（x）＞0，即axlna＞1，
∴，又a＞1，∴x＞-logalna；
同理f'（x）＜0，有∴x＜-logalna，
所以f'（x）在（-∞，-logalna）上是减函数，在（-logalna，+∞）是增函数，故．
（2）若f（x）min＜0，即，
则ln（lna）＜-1，
∴lna＜，
∴．