Question

已知在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在地面ABC上的投影为D，给出下列命题：
①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；
②△ABC是锐角三角形；
③；
④（注：S_△ABC表示△ABC的面积）
其中正确的是    （写出所有正确命题的编号）．

Answer

对于①，TA，TB，TC两两垂直可得：直线TA与平面TBC垂直，从而得出：TA⊥BC，同理得到TB⊥AC，TC⊥AB；
对于问题②可以通过余弦定理解决．
对于③，在直角三角形ATE中，利用平面几何中面积相等公式及射影定理即可证得；
对于④，如图作TE⊥CB于E，连AE，则AE⊥CB．S△BCA2 =•AE2 =•（AT2+TE2）再化简即得S△BCA2=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2．
【解析】
对于①，TA，TB，TC两两垂直可得：TA⊥平面TBC，从而得出：TA⊥BC，同理得到TB⊥AC，TC⊥AB，故①正确；
②设TA=a；TB=b；TC=c，则AB2=a2+b2，同理BC2=c2+b2，Ac2=a2+c2，在三角形ABC中，由余弦定理得：，同理可证cosB＞0，cosC＞0，所以，）△ABC是锐角三角形．
③设TA=a；TB=b；TC=c，在直角三角形TBC中，得：TE=，
在三角形ABC中，有：AE=
由于AE×TD=TA×TE
∴×TD=a×，
∴a2b2c2=（a2b2+b2c2+c2a2）TD 2
∴；成立
故③对
④：S△BCA2=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2．证明如下：
如图作TE⊥CB于E，连AE，则AE⊥CB．
S△BCA2 =•AE2 =•（AT2+TE2）=（TB2+TC2）（AT2+TE2）
=（TB2TC2 +TA2TC2+TA2TB2 ）=S△TBC2+S△ACT2+S△TAB2，
故不对；
故答案为：①②③．