Question

令f（n）=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*），如果对k（k∈N^*），满足f（1）•f（2）…f（k）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，2008]内所有“好数”的和M=    ．

Answer

分析题设条件，得到k=2n-2，由2n-2≤2008，解得1≤n≤10．由此能够求出区间[1，2008]内所有“好数”的和M．
【解析】
∵f（n）=log（n+1）（n+2）（n∈N*），
∴f（1）•f（2）=log23•log34=log24=2，
f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•f（5）•f（6）
=log23•log34•log45•log56•log67•log78
=log28=3，
…
由题设知k=2n-2，
由2n-2≤2008，解得1≤n≤10，
∴M==2006．
故答案为：2026