Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数x都有f（x）≥2x；且当0＜x＜2时，总有成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（-1）的取值范围．

Answer

（1）由对任意实数x都有f（x）≥2x，知f（1）≥2；由当0＜x＜2时，总有成立，知f（1）≤2，由此能求出f（1）．
（2）利用对任意实数x都有f（x）≥2x，即ax2+（b-2）x+c≥0恒成立，得到，由于f（1）=a+b+c=2，所以a=c，b=2-2a．由此能求出f（-1）=a-b+c=4a-2的取值范围．
【解析】
（1）∵对任意实数x都有f（x）≥2x，
∴f（1）≥2．
∵当0＜x＜2时，总有成立，
∴f（1）≤，
∴f（1）=2．（3分）
（2）∵f（1）=a+b+c=2，
对任意实数x都有f（x）≥2x，
即ax2+（b-2）x+c≥0恒成立，
∴，
∴b-2=-（a+c），
∴[-（a+c）]2-4ac≤0，
即（a-c）2≤0，
∴a=c＞0，b=2-2a．（5分）
∵，
∴2f（x）≤（x+1）2，
即2[ax2+（2-2a）x+a]≤（x+1）2，
整理得 （2a-1）x2+（2-4a）x+2a-1≤0，
即（2a-1）（x-1）2≤0，
∵当0＜x＜2时，它恒成立，
∴0＜a≤．
∴f（-1）=a-b+c=4a-2的取值范围是（-2，0]．（10分）