Question

设f（n，p）=C_2n^p（n，p∈N，p≤2n）．数列{a（n，p）}满足a（1，p）+a（2，p）+…+a（n，p）=f（n，p）．
（1）求证：{a（n，2）}是等差数列；
（2）求证：f（n，1）+f（n，2）+…+f（n，n）=22n-1+C_2nⁿ-1；
（3）设函数H（x）=f（n，1）x+f（n，2）x2+…+f（n，2n）x2n，试比较H（x）-H（a）与2n（1+a）2n-1（x-a）的大小．

Answer

（1）由a（1，p）+a（2，p）+…+a（n，p）=f（n，p），令p=2，得a（1，2）+a（2，2）+…+a（n，2）=f（n，2），
a（1，2）+a（2，2）+…+a（n-1，2）=f（n-1，2）（n≥2，且n∈N*），由此能导出{a（n，2）}是等差数列．
（2）设f（n，1）+f（n，2）+…+f（n，n）=C2n1+C2n2+…+C2nn=S，而C2n+C2n1+C2n2+C2n2n=22n，由此能够证明：S=22n-1+C2nn-1．
（3）H（x）=f（n，1）x+f（n，2）x2+…+f（n，2n）x2n，=（1+x）2n-1，所以H（x）-H（a）=（1+x）2n-（1+a）2n．
为了比较H（x）-H（a）与2n（1+a）2n-1（x-a）的大小，即要判断（1+x）2n-（1+a）2n-2n（1+a）2n-1（x-a）的符号．由此能够比较H（x）-H（a）与2n（1+a）2n-1（x-a）的大小．
【解析】
（1）由a（1，p）+a（2，p）+…+a（n，p）=f（n，p），
令p=2，得
a（1，2）+a（2，2）+…+a（n，2）=f（n，2），
a（1，2）+a（2，2）+…+a（n-1，2）=f（n-1，2）（n≥2，且n∈N*），
两式相减，得a（n，2）=C2n2-C2（n-1）2=4n-3，
且n=1时也成立．
所以a（n+1，2）-a（n，2）=4，
即{a（n，2）}是等差数列．            （5 分）
（2）设f（n，1）+f（n，2）+…+f（n，n）
=C2n1+C2n2+…+C2nn=S，
而C2n+C2n1+C2n2+C2n2n=22n，
又C2n2n-1=C2n1，C2n2n-2=C2n2，…，C2nn=C2nn，
所以2S+2C2nn=22n，
所以S=22n-1+C2nn-1．（10分）
（3）H（x）=f（n，1）x+f（n，2）x2+…+f（n，2n）x2n
=（1+x）2n-1，
所以H（x）-H（a）=（1+x）2n-（1+a）2n．
为了比较H（x）-H（a）与2n（1+a）2n-1（x-a）的大小，
即要判断（1+x）2n-（1+a）2n-2n（1+a）2n-1（x-a）的符号．
设X=1+x，A=1+a，
则上式即为X2n-A2n-2nA2n-1（X-A），
设F（X）=X2n-A2n-2nA2n-1（X-A），
其导数为F′（X）=2nX2n-1-2nA2n-1=2n（X2n-1-A2n-1）．
当X≥A时，F′（X）≥0，
则F（X）是增函数，
所以F（X）≥F（A），
且当X=A时等号成立．
当X＜A时，F′（X）＜0，
则F（X）是减函数，
所以F（X）＞F（A）．
纵上所述，H（x）-H（a）≥2n（1+a）2n-1（x-a），
当且仅当x=a时等号成立．