Question

已知f（x）=xlnx
（1）求的单调区间；
（2）证明：当x≥1时，2x-e≤f（x）恒成立．

Answer

（1）先求出函数g（x）的导函数，讨论k的符号，得到g'（x）的符号从而得到函数g（x）的单调区间；
（2）设h（x）=xlnx-2x+e（x≥1）令h'（x）=0，然后讨论导数为0在定义域内的导数符号，根据单调性求出函数的最小值，可证得f（x）≥2x-e，设G（x）=lnx-，利用导数研究G（x）为单调性即可证得f（x），从而得到结论．
【解析】
（1）g（x）=lnx+∴得x=k∵x＞0∴k≤0时g'（x）＞0所以函数g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当k＞0时g'（x）＞0得x＞k；g'（x）＜0得0＜x＜k∴增区间为（k，+∞），减区间为（0，k）（2分）
（2）设h（x）=xlnx-2x+e（x≥1）
令h'（x）=lnx-1=0得x=e
所以

x 1 （1，e） e （e，+∞）
h'（x） - +
h（x） e-2 ↓ ↑

所以h（x）≥0∴f（x）≥2x-e（4分）
设G（x）=lnx-
所以G（x）为增函数，所以G（x）≤G（1）=0
所以lnx-
所以f（x）
综上：当x≥1时，2x-e≤f（x）恒成立