Question

已知双曲线（a＞0，b＞0）的上、下顶点分别为A、B，一个焦点为F（0，c）（c＞0），两准线间的距离为1，|AF|、
|AB|、|BF|成等差数列．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过点F作直线l交双曲线上支于M、N两点，如果S_△MON=tan∠MON，求△MBN的面积．

Answer

（I）依题意可分别表示出|AF|，|AB|和|BF|，进而根据三者成等差数列建立等式求得a和c的关系，进而利用两准线间的距离求得a和c的另一关系式，联立求得a和c，进而求得b，则双曲线的方程可得．
（II）先利用三角形面积公式表示出△MON的面积，整理求得的值，进而设出M，N的坐标表示出和，进而求得x1x2+y1y2=-7．设出直线MN的方程与双曲线的方程联立，利用判别式和方程的两根的范围求得k的范围，把y1y2的表达式代入上式，整理求得k，进而求得三角形MBN的面积．
【解析】
（I）由已知|AF|=c-a，AB=2a，|BF|=c+a，
∴4a=（c-a）+（c+a），即c=2a．
又∵，于是可解得a=1，c=2，b2=c2-a2=3．
∴双曲线方程为．
（II）∵S△MON=，
∴
整理得|OM|•|ON|•cos∠MON=-7，即．
设M（x1，y1），N（x2，y2），于是，，
∴x1x2+y1y2=-7．
设直线MN的斜率为k，则MN的方程为y=kx+2．
∴消去y，整理得（3k2-1）x2+12kx+9=0．
∵MN与双曲线交于上支，
∴△=（12k）2-4×9×（3k2-1）=36k2+36＞0，x1x2=，，
∴．
∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=-7，整理得x1x2+k2x1x2+2k（x1+x2）+4=-7，
代入得：，解得，满足条件．
S△MBN==
=
=
=．