Question

已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足是“点P位于平面ABC内”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理．用 表示出 ，进而用 表示 ，三者的系数之和为1即可找出答案．
【解析】
已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足是“点P位于平面ABC内”的充要条件．证明如下：
（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，
则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
⇔对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得 =+x1 +y1
=+x1（ -）+y1（ -）
=（1-x1-y1） +x1 +y1 ，
取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，
则有 =x +y +z ，且x+y+z=1．
（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得 =x +y +z ．
所以x=1-y-z得 =（1-y-z） +y +z ．
=+y +z ，即：，
所以四点A、B、C、D共面．
所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得 =x +y +z ．
故选C．