Question

设函数f（x）=xsinx在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a₁，a₂，…a_n…，则对任意正整数n必有（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

对函数求导，使得导函数等于0，函数f（x）在（0，+∞）内的全部极值点就是函数y=tanx与y=-x的交点的横标，观察两线的交点，在每一个周期上都有一个交点，且从左向右，交点的位置更靠近渐近线，两个点之间的横标的差．
【解析】
∵函数f（x）=xsinx，
∴f′（x）=sinx+xcosx=0
∴tanx=-x，
∴函数f（x）在（0，+∞）内的全部极值点就是函数y=tanx与y=-x的交点的横标，
观察两条直线的交点，从纵轴向右，在每一个周期上都有一个交点，
且从左向右，交点的位置一次更靠近渐近线，
∴两个交点之间的横标之差小于一个周期，大于半个周期，
故选C．