Question

（填空题压轴题：考查函数的性质，字母运算等） 
设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为R上的“2011型增函数”，则实数a的取值范围是    ．

Answer

由题意可以得到再由定义存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．对所给的问题分自变量全为正，全为负，一正一负三类讨论，求出参数所满足的共同范围即可．
【解析】
∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，
∴
又f（x）为R上的“2011型增函数”，
当x＞0时，由定义有|x+2011-a|-2a＞|x-a|-2a，即|x+2011-a|＞|x-a|，其几何意义为到点a小于到点a-2011的距离，由于x＞0故可知a+a-2011＜0得a＜
当x＜0时，分两类研究，若x+2011＜0，则有-|x+2011+a|+2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|＞|x+2011+a|，其几何意义表示到点-a的距离小于到点-a-2011的距离，由于x＜0，故可得-a-a-2011＞0，得a＜；若x+2011＞0，则有|x+2011-a|-2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2011-a|＞4a，其几何意义表示到到点-a的距离与到点a-2011的距离的和大于4a，当a≤0时，显然成立，当a＞0时，由于|x+a|+|x+2011+a|≥|-a-a+2011|=|2a-2011|，故有|2a-2011|＞4a，必有2011-2a＞4a，解得
  综上，对x∈R都成立的实数a的取值范围是 
故答案为：．