(1)证明:连接A1B,交AB1于点O,连接OD.因为O、D分别是A1B、BC的中点,所以A1C∥OD. 所以A1C∥平面AB1D.
(2)由题意得:四边形BCC1B1是正方形.因为M为CC1的中点,D是BC的中点,所以△B1BD≌△BCM,所以∠BB1D=∠CBM,∠BDB1=∠CMB.所以BM⊥B1D. 因为△ABC是正三角形,D是BC的中点,所以AD⊥BC.因为AD⊥平面BB1C1C.且BM⊂平面BB1C1C,所以AD⊥BM.利用线面垂直的判定定理可得BM⊥平面AB1D.
证明:(1)连接A1B,交AB1于点O,连接OD.
∵O、D分别是A1B、BC的中点,
∴A1C∥OD.
∵A1C⊄平面AB1D,OD⊂平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D.
(2)M为CC1的中点.
证明如下:
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=BB1,∴四边形BCC1B1是正方形.
∵M为CC1的中点,D是BC的中点,∴△B1BD≌△BCM,
∴∠BB1D=∠CBM,∠BDB1=∠CMB.
又∵,,∴BM⊥B1D.
∵△ABC是正三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AD⊂平面ABC,
∴AD⊥平面BB1C1C.
∵BM⊂平面BB1C1C,
∴AD⊥BM.
∵AD∩B1D=D,
∴BM⊥平面AB1D.
∵AB1⊂平面AB1D,
∴MB⊥AB1.