Question

已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

Answer

一般来讲，函数f（x）和g（x）的奇偶性相同时，f（x）+g（x）的奇偶性不变，与原来相同，但是我们要根据函数的定义域来判断，如果两个函数定义域的交集是空集，结论就不成立，由此可以对A、B、C依此举反例，即可得到正确答案为D．
【解析】
对于A，设， 两个函数都是奇函数，
而F（x）=f（x）+g（x）定义域为空集，故A不正确；
对于B，设，两个函数都是偶函数，
而F（x）=f（x）+g（x）定义域为空集，故B不正确；
对于C，设，，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
而F（x）=f（x）+g（x）定义域为空集，更谈不上奇偶性，故C不正确；
因此，只有D选项是正确的．
故选D