Question

设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中正确的个数是（ ）
（ I）若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；
（ II）若m∥α，α⊥β，则m⊥β；
（ III）若m⊥β，α⊥β，则m∥α；
（ IV）若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

对各项依次加以判断：根据垂直于同一直线的平面和直线之间的位置关系，得到（I）正确；根据线面平行的判定定理，结合已知条件，通过举反例得到（II）错误；根据垂直于同一个平面的直线与平面的位置关系，得到（III）错误；根据线面垂直和线线垂直的性质，再结合面面垂直的判定定理，得到（IV）正确．
【解析】
对于（I），若m⊥n和m⊥α同时成立，说明n∥α或n⊂α
再结合已知条件n⊄α，得n∥α成立，故（I）正确；
对于（II），因为α⊥β，设它们的交线为n，若α、β外的直线m∥n，
则满足m∥α且m∥β，但m⊥β不成立，故（II）错；
对于 （III），若m⊥β，α⊥β，说明m∥α或m⊂α
当m⊂α时直线m∥α就不能成立．因此可得 （III）错误；
对于（ IV），根据m⊥n，m⊥α，得到n∥α或n⊂α
不论是n∥α还是n⊂α，都可结合n⊥β，得到α⊥β
故（IV）正确．
因此正确的命题是（I）（IV），共两个
故选B