Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（I）求证：；
（II）求a_n及S_n；
（III）求证：．

Answer

分析：（Ⅰ）由Sn推出Sn+1的表达式，两式相减后即得；
（ II）当n=1时，；将代入，得；
（Ⅲ）由，则即证，下证：当n≥4，n∈N*时，2n≥n2．然后利用数学归纳法法证明结果．
【解析】
（ I），（1），（2）（2分）
（2）-（1），得，∴．（3分）
（ II）当n=1时，；                          （4分）
由（ I），得
即                                             （7分）
将代入，得．（8分）
（ III）由，则即证
下证：当n≥4，n∈N*时，2n≥n2．
①当n=4时，24=42，成立；当n=5时，25＞52，成立；              （9分）
②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时，成立，即2k≥k2，则
当n=k+1时，2k+1≥2k2，令f（k）=2k2-（k+1）2=k2-2k-1，k≥4，k∈N*，当k=4时有最小值7，故2k2＞（k+1）2，
∴2k+1≥（k+1）2，即n=k+1成立；
由①②得结论成立．（11分）
于是，．
令k=4，5，6，…，n，各式相加，得，
又，
两式相加，得．（12分）