Question

如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点．
（1）求证：C′E∥面AB′D′；
（2）求证：面ACD′⊥面BDD′；
（3）求四棱锥B′-ABCD与D′-ABCD的公共部分体积．

Answer

（1）取B′D′的中点为F，连AF，C′F，根据三角形中位线定理，我们易判断出AF∥C′E，结合线面平行的充要条件，即可得到C′E∥平面AB′D′．
（2）连接AC，CD′，结合菱形及正三棱柱的几何特征，我们可以得到AC⊥BD，AC⊥DD'，根据线面垂直的判定定理我们可以得到AC⊥平面BDD′，再由面面垂直的判定定理，即可得到面ACD′⊥面BDD′；
（3）由图得四棱锥B′-ABCD与D′-ABCD的公共部分为四棱锥O-ABCD，求出棱锥的高及底面积，代入棱锥体积公式，即可得到四棱锥B′-ABCD与D′-ABCD的公共部分体积．
【解析】
（1）证明：如图取B′D′的中点为F，连AF，C′F，易得AFC′F为平行四边形．

∴AF∥C′E，又AF⊂平面AB′D′
∴C′E∥平面AB′D′..（4分）
（2）证明：连接AC，CD′，因ABCD是菱形故有AC⊥BD
又BCD-B′C′D′为正三棱柱
故有AC⊥DD'
所以AC⊥平面BDD′
，而AC⊂平面ACD′
所以面ACD′⊥面BDD′（9分）
（3）设B′D与BD′的交点为O，
由图得四棱锥B′-ABCD与D′-ABCD的公共部分为四棱锥O-ABCD
且易得O到下底面的距离为1，
所以公共部分的体积为（14分）