Question

设x_n={1，2…，n}（n∈N₊），对x_n的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最小元素，当A取遍x_n的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S_n，则：①S₃=    ，②S_n=    ．

Answer

由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n-1次．即有2n-1个子集含1，有2n-2个子集不含1含2，有2n-3子集不含1，2，含3…有2k-1个子集不含1，2，3…k-1，而含k．
所以Sn=2n-1×1+2n-2×2+…+21×（n-1）+n，进而利用错位相减法求出其和．
【解析】
由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n-1次．
故有2n-1个子集含1，有2n-2个子集不含1含2，有2n-3子集不含1，2，含3…有2k-1个子集不含1，2，3…k-1，而含k．
所以Sn=2n-1×1+2n-2×2+…+21×（n-1）+n
Sn=n•1+（n-1）•2+…+2•2n-2+1•2n-1…①
所以2Sn=n•2+（n-1）•4+…+2•2n-1+1•2n…②
所以①-②可得-Sn=n-（2+4+…+2n-1+2n）
所以Sn=2n+1-n-2
所以S3=11．
故答案为①S3=11，②Sn=2n+1-n-2．