Question

如图，椭圆的顶点为A₁、A₂、B₁、B₂，焦点为F₁，
F₂，，

（1）求椭圆C的方程；
（2）设l是过原点的直线，直线n与l垂直相交于P点，且n与椭圆相交于A，B两点，|OP|=1，求的取值范围．

Answer

（1）由|A1B1|=，知a2+b2=7，由，知a=2c，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线n的斜率不存在时，由对称性取P（1，0），A（1，），B（1，-），则．当直线n的斜率存在时，令AB：y=kx+m，由|OP|=1，知m2=1+k2，．联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，再利用韦达定理进行运算能够求出的取值范围．
【解析】
（1）由|A1B1|=，知a2+b2=7，①
由，知a=2c，②
又b2=a2-c2，③
由①②③解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线n的斜率不存在时，由对称性取P（1，0），A（1，），B（1，-），
则．
当直线n的斜率存在时，令AB：y=kx+m，
∵|OP|=1，∴，即m2=1+k2，
∵|OP|=1，∴．
联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
∴，（*）
∴，
将（*）代入并化简得，
∴，
由1+k2=m2，得m2≥1，∴，∴，
综上所述，的取值范围是（]．