Question

如图，O是坐标原点，已知三点E（0，3），F（0，1），G（0，-1），直线L：y=-1，M是直线L上的动点，H．P是坐标平面上的动点，且．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点E的直线m与点P的轨迹交于相异两点A．B，设向量夹角为θ，且，求直线m斜率的取值范围．

Answer

（1）根据且，点P在直线x=a上，由抛物线定义，动点P的轨迹是以F为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，求出动点P 轨迹方程；（Ⅱ）直线与抛物线相交，联立方程，利用伟大定理，寻找向量夹角为θ的余弦值，求出直线m斜率的取值范围．
【解析】
（1）设P（x，y），M（a，0），∵，
∴PM∥y轴，
∴点P在直线x=a上．
又，，
∴PH⊥FM，点P在线段FM的垂直平分线上，由抛物线定义，动点P的轨迹是以F为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，
∴动点P 轨迹方程是x2=4y；
（2） 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程：y=kx+3，把它代入x2=4y，得
x2-4kx-12=0，
x1+x2=4k，x1x2=-12，
y1+y2=4k2-6，y1y2=9．
设AB在x轴的射影是A1B1，
=（x1，y1-1）•（x2，y2-1）=x1x2+y1y2-（y1+y2）+1
||•||=|FA1|•|FB1|=（y1+1）•（y2+1）=y1y2+（y1+y2）+1，
∴cosθ==≤cos≤-，解得|k|≥1+
∴k∈（-∞，-1-]∪[1+，+∞）