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如图,O是坐标原点,已知三点E(0,3),F(0,1),G(0,-1),直线L:...

如图,O是坐标原点,已知三点E(0,3),F(0,1),G(0,-1),直线L:y=-1,M是直线L上的动点,H.P是坐标平面上的动点,且manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点E的直线m与点P的轨迹交于相异两点A.B,设向量manfen5.com 满分网夹角为θ,且manfen5.com 满分网,求直线m斜率的取值范围.

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(1)根据且,点P在直线x=a上,由抛物线定义,动点P的轨迹是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,求出动点P 轨迹方程;(Ⅱ)直线与抛物线相交,联立方程,利用伟大定理,寻找向量夹角为θ的余弦值,求出直线m斜率的取值范围. 【解析】 (1)设P(x,y),M(a,0),∵, ∴PM∥y轴, ∴点P在直线x=a上. 又,, ∴PH⊥FM,点P在线段FM的垂直平分线上,由抛物线定义,动点P的轨迹是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线, ∴动点P 轨迹方程是x2=4y; (2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程:y=kx+3,把它代入x2=4y,得 x2-4kx-12=0, x1+x2=4k,x1x2=-12, y1+y2=4k2-6,y1y2=9. 设AB在x轴的射影是A1B1, =(x1,y1-1)•(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1 ||•||=|FA1|•|FB1|=(y1+1)•(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1, ∴cosθ==≤cos≤-,解得|k|≥1+ ∴k∈(-∞,-1-]∪[1+,+∞)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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