Question

设函数，f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一个极值点是x=3．
（I）求a与b的关系式（用a表示b，并求f（x）的单调区间；
（11）设a＞0，g（x）=（a²+）e^x若存在ε₁，ε₂∈[0，4]使得f（ε₁）-g（ε₂）＜1成立，求a的取值范围．

Answer

（I）由已知中函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x（x∈R）的一个极值点是x=3．我们根据函数在某点取得极值的条件，易得f′（3）=0，进而构造方程求出a与b的关系式，分析函数在各个区间上的符号，即可得到答案．
（II）根据g（x）=（a2+）ex，利用导数法确定函数的单调性，再根据（1）的结论，我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=-e3-x，（1分）
由f′（3）=0，得-e3-3=0，即得b=-3-2a，（2分）
则f′（x）=e3-x=-e3-x=-（x-3）（x+a+1）e3-x．
令f′（x）=0，得x1=3或x2=-a-1，由于x=3是极值点，∴-a-1≠3，即a≠-4，（4分）
当a＜-4时，x2＞3=x1，则在区间（-∞，3）上，f′（x）＜0，
f（x）为减函数；在区间（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在区间（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数． （5分）
当a＞-4时，x2＜3=x1，则在区间（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在区间（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在区间（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，由于f（x）连续，那么f（x）在区间上的值域是，而f（0）=-（2a+3）e3＜0，f（4）=（2a+13）e-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在区间上的值域是（8分） 又g（x）=）=（a2+）ex，
在区间上是增函数，且它在区间上的值域是，．（10分）
由于（a2+）-（a+6）=a2-a+=（a-）2≥0，
所以只须仅须（a2+）-（a+6）＜1且a＞0，解得0＜a＜．故a的取值范围是（0，） （12分）．