Question

己知．函数f（x）=（x≠-1）的反函数是f^-1（x）．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数都有a_n=成立，且b_n=f^-1（a_n）•
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）记c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有T_n＜；
（III）设数列{b_n}的前n项和为R_n，已知正实数λ满足：对任意正整数n，R_n≤λn恒成立，求λ的最小值．

Answer

（Ⅰ）由题设条件能导出an+1-an=5an+1，即 ，所以 ，∴．
（Ⅱ）由 ，知 =，当n=1时，；当n≥2时，
．
（Ⅲ）由 知Rn=b1+b2+…+b2k+1==＞4n-1．由此入手能推导出正实数λ的最小值为4．
【解析】
（I）由题意得f-1（x）=（x≠1）
由an=得an=5Sn+1…1分
当n=1时，a1=5a1+1，则a1=-
又an+1=5Sn+1+1，
∴an+1-an=5an+1，
即an+1=-an，
∴数列{an}是以-为首项，以-为公比的等比数列，…2分
∴an=，
∴bn=…3分
（II）由（I）中bn=
∴cn=b2n-b2n-1=-=＜=…4分
又∵b1=3，b2=，
∴c1=，即当n=1时，Tn＜成立…5分
当n≥2时，Tn＜+=+25×＜=+25×=＜成立
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知Rn≤λn恒成立，取n为大于1的奇数时，设n=2k+1（k∈N+）
则Rn=b1+b2+…+b2k+1=
=＞4n-1
∴λn≥Rn＞4n-1，即（λ-4）n＞-1对一切大于1的奇数n恒成立
∴λ≥4否则，（λ-4）n＞-1只对满足 的正奇数n成立，矛盾．
另一方面，当λ=4时，对一切的正整数n都有Rn≤4n
事实上，对任意的正整数k，有

=
=
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N+）
则Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n-1+b2n）＜8m=4n
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N+）
则Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n-3+b2n-2）+b2n-1
＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴对一切的正整数n，都有Rn≤4n
综上所述，正实数λ的最小值为4